Establecer una conexión con una base de datos de tu servidor usando PHP

Últimamente estoy haciendo grandes progresos en mi aprendizaje de todo lo relacionado con MySQL y PHP (por motivos profesionales e instigado por ganas personales), bien pues vamos a ver algunas cosillas en los próximos días. Por el momento un pequeño avance: Cómo establecer una conexión con una base de datos MySQL (en nuestro servidor) mediante leer el resto